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10) in der komplexen Ebene darstellen als Summe zweier konjugiert komplexer Zeiger, wobei der eine im Gegenuhrzeigersinn rotiert (Kreisfrequenz ω) und der andere im Uhrzeigersinn kreist (Kreisfrequenz – ω). Die Summe der beiden Zeiger ist stets reell, da die Koeffizienten c und c* konjugiert komplex zueinander sind. 7) ist die Länge der Zeiger halbiert. 7), so ergibt sich die Fourier-Reihe in komplexer Darstellung. 12) bestimmt. 2 Die Fourier-Reihe 23 Das Integrationsintervall muss genau eine Periode überstreichen, der Startzeitpunkt ist egal.

Für t0 = 0 wird die Funktion um 0 verschoben, also unverändert belassen. δ(t) ist das Neutralelement der Faltung! Falten von x(t) mit der Diracstossfolge heisst periodisches Fortsetzen. Im Frequenzbereich bedeutet dies die Produktbildung der Spektren. Da das Spektrum der Diracstossfolge wiederum eine Diracstossfolge ist, bedeutet diese Produktbilung ein Abtasten. Periodische Signale haben deshalb ein diskretes Spektrum, vgl. 13. 3 Die Fourier-Transformation (FT) x(t ) o−o X ( jω ) ; 47 ∞ ∑δ (t − kT ) k = −∞ x p (t ) = x (t ) ∗ ∞ ∑ δ (t − kT ) o−o ∞ o−o ω 0 ⋅ ∑ δ (ω − kω 0 ) k = −∞ X p ( jω ) = X ( jω ) ⋅ ω 0 ⋅ k = −∞ ∞ ∑ δ (ω − kω 0 ) k = −∞ Periodisches Fortsetzen heisst Abtasten des Spektrums.

Hingegen ist eine Entwicklung in eine Fourier-Reihe bereits mit einem einzigen Glied exakt. Eine Rechteckfunktion jedoch braucht unendlich viele Glieder in der Fourier-Reihe, aber nur ein einziges in einer Reihe von Walsh-Funktionen. 8) beschrieben, welche harmonische Funktionen als Eigenfunktionen aufweisen (Eigenfunktionen werden durch das System nicht „verzerrt“). Für solche Systeme ist die Fourier-Reihe geradezu massgeschneidert. B. in der Geometrie ein Quader zweckmässigerweise mit kartesischen Koordinaten beschrieben und nicht etwa mit Kugelkoordinaten.

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